Контрольная работа по элементарной математике

Вариант №5

1. Доказать, что 715-497+3434 ⋮5.

Решение:

Для доказательства данного утверждения преобразуем наше выражение.

715-497+3434=715-727+734=715-714+712=

=714∙7-1+712=6∙714+712=712∙6∙72+1=295∙712.

Как видим 295 делится на 5, значит и все наше выражение делится на 5, что и требовалось доказать.

2. Доказать, что при любом натуральном n, 32∙n+2-8∙n-9⋮4.

Решение:

Для доказательства воспользуемся методом индукции.

Проверим истинность утверждения при n = 1:

32∙1+2-8∙1-9=34-8-9=64=4∙16.

Выражение делится на 4.

Предположим что при n = k, где k – произвольное натуральное число, выражение: 32∙k+2-8∙k-9, делится на 4.

Докажем что при n = k+1, полученное выражение тоже делится на 4:

32∙k+1+2-8∙k+1-9=32∙k+2+2-8∙k-8-9=

=32∙32∙k+2-8∙k-8-9=9∙32∙k+2-8∙k-8-9=

=8∙32∙k+2-8+32∙k+2-8∙k-9=(8∙32∙k+2-8)+(32∙k+2-8∙k-9).

Как можно заметить, оба больших слагаемых делятся на 4:

Первое – имеет 8 как общий сомножитель для своих слагаемых,

Второе – исходя из предположения.

Итак, ...