Задание 1. Вычислите производную функции fx,y в точке M по направлению градиента

fx,y=x2-arctany+z, M2;1;1

Берем частные производные первого порядка от функции fx,y и вычисляем полученные производные в точке M

∂f∂x=2x, ∂f∂xM2;1;1=4

∂f∂y=-11+y+z2, ∂f∂yM2;1;1=-15

∂f∂z=-11+y+z2, ∂f∂zM2;1;1=-15

Подставляем полученные данные в формулу градиента функции

grad fM=∂f∂xMi+∂f∂yMj+∂f∂zMk

grad f=4i-15j-15k=4;-15;-15

Найдем направляющие косинусы направления градиента:

l0=ll=4i-15j-15k42+-152+-152=20402i-1402j-1402k

cosα=20402, cosβ=-1402 , cosγ=-1402

∂f∂lM=∂f∂xM∙cosα+∂f∂yM∙cosβ+∂f∂zM∙cosγ

∂f∂lM=4∙20402-15∙-1402-15∙-1402=4025≈4.01

Задание 2. Найдите второй дифференциал функции в данной точке

fx,y=arctan(x2-2y), M1;0

Находим производные первого порядка

fxʹ=x2-2yʹ1+x2-2y2=2x1+x2-2y2

fyʹ=x2-2yʹ1+x2-2y2=-21+x2-2y2

Теперь находим производные второго порядка и вычисляем их значения в заданной точке

fxxʹʹ=2xʹ1+x2-2y2-2x1+x2-2y2ʹ1+x2-2y22=

=2∙1+x2-2y2-2x∙2x2-2y∙2x1+x2-2y22=

=2+2x2-2y2-8x2∙x2-2y1+x2-2y22

fxxʹʹM=-1

fxyʹʹ=2xʹ1+x2-...