Контрольная работа №5

135. Найти неопределенный интеграл.

а) 4x-2∙x+5x2∙dx

Решение:

Для того чтобы решить этот интеграл можно воспользоваться заменой x=t4, это позволит избавиться от назойливых неудобных корней. Но мы будем решать просто деля почленно числитель на знаменатель и затем интегрировать каждый получившийся член по отдельности, воспользовавшись свойством интеграла.

4x-2∙x+5x2∙dx=4xx2∙dx+-2∙xx2∙dx+5x2∙dx=

=x-74∙dx-2∙dxx+5∙x-2∙dx=

=x-74+1-74+1-2∙lnx+5∙x-2+1-2+1+C=

=x-34-34-2∙lnx+5∙x-1-1+C=-43∙4x3-2∙lnx-5x+C

Ответ:

4x-2∙x+5x2∙dx=-43∙4x3-2∙lnx-5x+C.

б) 3∙x2+1x3+x-10∙dx

Решение:

Для того чтобы решить этот интеграл совершим замену:

t=x3+x-10; dt=(3∙x2+1)∙dx

Получим:

3∙x2+1x3+x-10∙dx=dtt=lnt+C=lnx3+x-10+C.

Ответ:

3∙x2+1x3+x-10∙dx=lnx3+x-10+C.

в) arccosxx+1∙dx

Решение:

Для того чтобы решить этот интеграл совершим замену:

t=x; dt=dx2∙x; dx=2∙t∙dt;

Получим:

arccos⁡(t)t2+1∙2∙t∙dt

Далее интегрируем по частям:

u=arccost; du=-dt1-t2;

dv=2∙t∙dtt2+1; v=2∙t2+1;

Получаем:

arccostt2+1∙2∙t∙dt=2∙t2+1∙arccost-2∙t2+1∙dt-1-t...